qualcosa su cui riflettere

17 settembre, 2007

Avevo chiesto aiuto di nuovo a Gian Marco Todesco per il mio scoglio matematico. Ecco la risposta:

Io farei in un altro modo:
Se non ho capito male vogliamo costruire la configurazione a due bolle nel caso in cui i raggi siano diversi. Il diaframma fra le bolle e’ quindi un arco di cerchio che unisce internamente i due punti di contatto.
Supponiamo come al solito di mettere i centro delle due bolle in A e B. Supponiamo che C sia il punto di contatto superiore. Sappiamo che l’angolo ACB deve essere di 60 gradi. Il punto C’, ottenuto riflettendo C rispetto alla retta che passa per AB, e’ il punto di contatto inferiore.
Il nostro disegno sara’ quindi composto da tre archi di cerchio che uniscono C con C’. I centri dei tre cerchi saranno A,B e D (e il problema e’ dove mettere D). Per simmetria D giace sulla retta che passa per AB.
Se supponiamo (senza perdita di generalita’) che la bolla centrata in B sia piu’ piccola di quella centrata in A allora l’arco che separa le due bolle avrà la concavita’ verso B. Quindi il punto B si trovera’ fra A e D.
A questo punto basta trovare la distanza BD per poter disegnare tutto lo schema.
Usando il teorema dei seni si triangoli ABC e BCD si trova abbastanza facilmente che

BD = AB * sin(CAB)/sin(60-CAB)

Dalla formula si vede che quando CAB diventa 60 gradi il punto D si allontana all’infinito e in effetti con quell’angolo le bolle sono uguali e l’arco che le separa degenera in un segmento.
Si vede anche che quando CAB va a 0 D coincide con B. Anche questo e’ corretto visto che la seconda bolla sta sparendo.
Scrivendo il programma bisogna ricordarsi che c’e’ una relazione fra i raggi dei cerchi e la distanza AB. Un modo per tenerne conto e’ considerare AB e CAB le variabili indipendenti. Da queste due si ricavano le posizioni di C,C’ e D.
A questo punto si puo’ tenere fissato AB e far variare CAB in ]0,60[
Questo mi sembra il modo piu’ semplice di affrontare il problema.

Per rispondere invece alla sua domanda (come trovare il coefficiente angolare di una retta bisettrice di due rette date) le consiglierei di non utilizzare per le rette la forma y=mx+q che in questi casi e’ scomoda. E’ molto meglio la notazione parametrica che rappresenta una
retta con l’equazione P(t) = A + ut, dove A = (Ax,Ay) e u=(ux,uy) sono due vettori e t e’ un numero reale.
Se A+ut e A+vt sono due rette che passano per A e u e v sono normalizzati (cioe’ hanno norma unitaria: ux^2+uy^2=vx^2+vy^2=1) allora la retta bisettrice e’ semplicemente A+(u+v)t

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